POLA BARISAN BILANGAN

           Barisan Bilangan adalah Susunan bilangan menurut suatu aturan atau pola tertentu. Barisan bilangan dibagi 2, yaitu :

1.Barisan Aritmatika
       Barisan jika selisih 2 suku berurutan sama.
Rumus :      U_n = a + (n-1)b           
                   U_n= suku ke-n
                   a = suku awal
                   b = selisih 2 suku berurutan (U2 - U1, U3-U2, U4-U3, .....)

Contoh :
1.Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan berikut.
a.3,6,9,12.....
b.-4,-1,2,5.....

2.Tentukan suku yang diketahui dalam barisan berikut
a.1,4,7,10.......suku ke-50
b.25,21,17,13......suku ke-30

3.Jika p-2,p+4,1-2p,..... adalah barisan aritmatika,tentukanlah p,beda(b),dan U_7.

4.Jika diketahui U₂₃ = 11 dan U₃ = -29 dan merupakan barisan aritmatika, tentukanlah U₂₅ !

5.Jika diketahui barisan aritmatika U₁+U₃+U₅=30 dan U₂+U₄+U₆=39. Tentukanlah U₁₀ !

Jawab :
1a.Dik. : a = 3                                        *Cara Cepat
            b = 6-3 = 3                                    U2-U1  = U1
                                                                 3,6,9,12.....    
Dit. : U_n.....?                                             dengan syarat U2 - U1, U3-U2, U4-U3, ..... maka
                                                                  6-3(n) = 3
   U_n = a + (n-1)b                                      3 = 3 , maka Un = 3n
   U_n = 3 + (n-1)3
   U_n = 3n

b.Dik : a = -4                                            *) Cara Cepat
            b = -1-(-4) = 3                               U2-U1 (n) = U1   
Dit : Un.....?                             -4,-1,2,5....                                                
                                                                  dengan syarat U2 - U1, U3-U2, U4-U3, ..... maka
   U_n = 4 + (n-1)3                                      -1-(-4) = -4
   U_n = 3n-7                                              3(n) = -4                                                  
                                                                 3(n) - 7  = -4, maka Un = 3n - 7
                                                
2.a. Dik. : a = 1
                b = 4-1 = 3
      Dit. : U₅₀.....?

      U₅₀ = 1 + (50-1)3
      U₅₀ = 148

b.Dik. a = 25
            b= 21-25 = -4
   Dit : U₃₀.....?

   U₃₀ = 25 + (30-1)-4 
   U₃₀ = -91

3.p-2 ,p+4,1-2p,.....
   U₁    U₂    U₃

*)sesuai dengan syarat barisan aritmatika yaitu jumlah selisih antara suku yang berurutan adalah sama, maka :

U₂-U₁         =  U₃-U₂
p+4 – (p-2) =  1-2p – (p+4)
p+4-p+2     =  1-2p-p-4
    6             =  -3p-3
         p        =  -3

*U₁ (a) = p-2                               *U₂ = p+4
         a = -3-2                                 U₂  = -3+4
         a = -5                                    U₂ = 1

*b=U₂-U₁                                    *U₇ = a + 6b
  b=1-(-5)                                             = -5 + 6(6)
  b=6                                              U₇ = 31

4.U₂₃ = a + 22b                             U₃ = a+2b
    11 = a + 22b.....(1)                    -29 = a+2b.....(2)

*)eliminasi pers. (1) & (2)
11 = a + 22b
-29 = a+2b     -
  40 = 20b
  b  = 2
 
 
11 = a + 22(2)
a   = -33

U₂₅ = a + 24b
      = -33 + 24(2)
  U₂₅ = 15

5. U₁+U₃+U₅=30
   a + a+2b + a+4b = 30      diperoleh dari U_n = a + (n-1)b  pada masing masing suku
   3a + 6b = 30.....(1)

  U₂+U₄+U₆=39
  a+b+a+3b+a+5b = 39
  3a+9b = 39.....(2)



*)eliminasi kedua persamaan
3a + 6b = 30
3a+9b = 39           -
-3b = -9
b = 3

*)masukkan ke salah satu persamaan
3a + 6b = 30
3a + 6(3) = 30
a = 4

U₁₀ = a +9b
       = 4 + 9(3)
U₁₀ = 31

b.Deret Aritmatika

      Penjumlahan suatu barisan dengan selisih dua suku berurutan adalah sama.

Rumus : S_n = n/2 (a+Un)       atau      S_n = n/2 (2a +(n-1)b)
              S_n = Jumlah n suku pertama
              a= suku pertama
              b = beda
              n = banyak suku

Contoh :
1. 1+2+3+.....suku ke-50. Tentukan Sn dan barisan aritmatika.

2.2+5+8+.....+23. Tentukan n dan jumlah seluruh jumlah sukunya.

3.Jumlah 10 suku pertama dari suatu barisan aritmatika adalah 210 dan jumlah 20 suku pertama dari barisan yang sama adalah 820. Nilai suku ke-20 barisan ini adalah.....

Jawab :
1.  Dik. = a =1
                b = 2-1 = 1
     Dit : S₅₀.....?

     S₅₀ = 50/2 (2(1) + (50-1)1)
     S₅₀ = 1275

2.  U_n = a + (n-1)b
     23 = 2 + (n-1)3
     23 = 2 +3n-3
     n = 8

     S_n = n/2 (2a +(n-1)b)
     S₈ = 8/2 (2(2) + (8-1)3)
     S₈ = 4 (25)
     S₈ = 100

3.  S10 = 10/2( 2a +(10-1)b)
     S10 = 5 (2a + 9b)
     210 = 10a + 45b.....(1)

     S20 = 10 (2a+19b)
     820 = 20a + 190b.....(2)

*)eliminasi pers. (1) & (2)
210 = 10a + 45b     | x2 |        20a + 90b = 420
820 = 20a + 190b   | x1 |        20a + 190b = 820    -
                                                -100b = -400
                                                   b = 4 ➝ 210 = 10a + 45(4)                                                            
                                                                      a =3

U20 = a+19b
        = 3 + 19(4) =79

2.Barisan Geometri
      Barisan jika perbandingan(r) 2 suku berurutan sama.

Rumus :    Un = ar^n-1 
                 Un = suku ke-n
                 a = suku pertama
                 n = banyak suku

          r(rasio) = U2 , U3, U4, .....
                           U1   U2  U3

Contoh :
1. Tentukan Un dari :
   5,10,20.....

2.Jika diketahui U3 = 16 dan U5 = 64. Tentukan rasio dan suku pertamanya.

3.Jika diketahui barisan geometri k-1,2k+1,13k-2 dan k≠0. Tentuka nilai k,r dan U6.

4.Jumlah suku pertama dan kedua dari suatu barisan geometri adalah 8 dan jumlah  suku kedua dan ketiga dari barisan yang sama adalah 24. Jumlah suku ke-3 dan ke-4 barisan ini adalah.....

Jawab :

1. R = U2 = 10/5 = 2
           U1

   Un = ar^n-1
   Un = 5.2^n-1

2.U5  =  64
   U3      16
   r² = 4
   r =2

   U3 = ar²
   16 = a(2)²
   a = 4

3.   U2 , U3, U4, .....
      U1   U2  U3   
    2k+1 = 13k-1
    k-1       2k+1

2k+1(2k+1) = 13k-1(k-1)
4k²+4k+1=13k²-14k+1
9k(k-2)=0
k=0 V k=2

r= 2k+1 = 2(2)+1 = 5
     k-1        2-1

U5 = ar⁴
     = 2(5)⁴
     = 1250

4.U1 + U2 =8     ➩   a + ar = 8        ➩    a(1+r)=8
   U2 + U3 =24   ➩   ar + ar² = 24   ➩   ar(1+r)=24

ar(1+r)   = 24
 a(1+r)        8

r = 3 ➟ a=2

U3 + U4
=ar²+ar³
=2(3)²+2(3)³
=72

b.Deret Geometri      
       ↳ Penjumlahan suatu barisan dengan selisih dua suku berurutan adalah sama.

Rumus :      Sn = a(1-rⁿ) ,     r < 1
                               1-r                 
                   Sn = a(rⁿ-1)  ,    r > 1
                               r-1                 

Contoh :
1.Hitung jumlah barisan geometri berikut
   3+9+27+.....S10

2.Carilah n jika
  2+4+8+.....+2^{n =} 2046

Jawab :
1. r = 9/3 = 3
S₁₀ =  3(3¹⁰-1)  
              3-1
S₁₀ = 88572

2. r = 4/2 = 2

2046 = 2(2ⁿ-1)
             2-1

 2ⁿ⁺¹ = 2048
  2^n.2¹ = 2048
  2ⁿ = 1024 
  2ⁿ = 2¹⁰
  n = 10